Studoval na Janáčkově akademii múzických umění, kde postupně prošel vzděláním v klasické, jazzové i populární hudbě. Během dvouletého studijního pobytu na University of North Texas v jazzové třídě jednoho z nejvýznamnějších světových pedagogů Eda Sopha získal zkušenosti také v indické, latinsko-americké a africké hudbě. Svůj hráčský rozhled si dále rozšířil účastí na řadě workshopů se špičkovými interprety.
Jako jeden z nejvýraznějších hráčů své generace je zván ke spolupráci na projektech předních českých i zahraničních jazzových a populárních interpretů. Zaměřuje se též na experimentální hudbu – například spolupracoval se švýcarským Paul Klee Ensemble a slovenským Quasars Ensemble. Svoji interpretační všestrannost rozvinul také na poli klasické hudby, a to zejména při sedmiletém angažmá ve Filharmonii Brno. Hudbě pro bicí nástroje se věnuje v souboru OK Percussion Duo, který založil s Martinem Opršálem, vedoucím katedry bicích nástrojů Janáčkovy akademie múzických umění.
Hlavním nástrojem Martina Kleibla je bicí souprava, kterou využívá jak v jazzové a populární hudbě, tak i v hudbě klasické. Jako sólista či v ansámblech se představil ve většině zemí Evropy, v Japonsku a USA.
Zabývá se také pedagogickou činností, mimo jiné působí na katedře bicích nástrojů na Janáčkově akademii múzických umění. Je firemním hráčem japonských Canopus Drums, italských Ufip Cymbals, amerických Innovative Percussion a Evans Drumheads.
Žije v České republice a ve Vídni. Dva roky studoval u Fritze Ozmece, pedagoga Universität für Musik und darstellende Kunst Wien. Je absolventem jazzového magisterského programu u Maria Gonziho a Waltera Grassmanna na Musik und Kunst Privatuniversität der Stadt Wien.
